部分分数 - Jehoshaphat

きのう変な夢を見た．それは，ひたすら部分分数に分解するという夢．次々と出てくる式を部分分数に分解しないとゲームのIQみたいにがらがらと足場が崩れ落ちちゃう．怖かった．
せっかくなので*1部分分数に分解するやりかたを説明します．
$f(x) = \frac{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0}{x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0}, \:(m<n)$ という式が与えられたとき，分母を次のように因数分解して変形できたとします．

$\LARGE \begin{eqnarray}f(x) &=& \frac{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0}{x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0} \\ &=& \frac{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0}{(x-p_1)(x-p_2) \cdots (x-p_n)} \\ &=& \frac{k_1}{x-p_1} + \frac{k_2}{x-p_2} + \cdots + \frac{k_n}{x-p_n} \end{eqnarray}$

ここで $k_i\:(i = 1,2,\cdots,n)$ を求めるわけですが，通分して分子の恒等式を解いても求まりますが， $p_1, p_2, \cdots, p_n$ が互いに異なるとき次の方法を使うと簡単に求めることができます．

$\LARGE k_i = \lim_{x \rightarrow p_i} (x-p_i)f(x)$

例1

$\Large f(x) = \frac{3x}{x^2-x-2}$ を積分しましょう．

$\Large \begin{eqnarray}f(x) &=& \frac{3x}{(x-2)(x+1)} \\ &=& \frac{\alpha}{x-2} + \frac{\beta}{x+1} \end{eqnarray}$

と，変形すると；

$\Large \begin{eqnarray} \alpha &=& \lim_{x \rightarrow 2} (x-2)f(x) \\ &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{3x}{x+1} \\ &=& \frac{6}{3} \\ &=& 2 \end{eqnarray}$
$\Large \begin{eqnarray} \beta &=& \lim_{x \rightarrow -1} (x+1)f(x) \\ &=& \lim_{x \rightarrow -1} \frac{3x}{x-2} \\ &=& \frac{-3}{-3} \\ &=& 1 \end{eqnarray}$

これより

$\Large f(x) = \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+1}$

したがって

$\Large \begin{eqnarray} \Bigint f(x)dx &=& \Bigint \left( \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+1} \right)dx \\ &=& 2\Bigint \frac{dx}{x-2} + \Bigint \frac{dx}{x+1} \\ &=& 2\log|x-2| + \log|x+1| + C \\ &=& \log(x-2)^2|x+1| + C \end{eqnarray}$

例2

$\Large Y(s) = \frac{6s^2+22s+18}{s^3+6s^2+11s+6}$ をラプラス逆変換しましょう．

$\Large \begin{eqnarray} Y(s) &=& \frac{6s^2+22s+18}{(s+1)(s+2)(s+3)} \\ &=& \frac{k_1}{s+1} + \frac{k_2}{s+2} + \frac{k_3}{s+3} \end{eqnarray}$

と変形すると

$\Large \begin{eqnarray} k_1 &=& \lim_{s \rightarrow -1} (s+1)Y(s) \\ &=& \lim_{s \rightarrow -1} \frac{6s^2+22s+18}{(s+2)(s+3)} \\ &=& \frac{6-22+18}{1 \cdot 2} \\ &=& 1\end{eqnarray}$
$\Large \begin{eqnarray} k_2 &=& \lim_{s \rightarrow -2} (s+2)Y(s) \\ &=& \lim_{s \rightarrow -2} \frac{6s^2+22s+18}{(s+1)(s+3)} \\ &=& \frac{24-44+18}{-1 \cdot 1} \\ &=& 2\end{eqnarray}$
$\Large \begin{eqnarray} k_3 &=& \lim_{s \rightarrow -3} (s+3)Y(s) \\ &=& \lim_{s \rightarrow -3} \frac{6s^2+22s+18}{(s+1)(s+2)} \\ &=& \frac{54-66+18}{(-2) \cdot (-1)} \\ &=& 3\end{eqnarray}$

これより

$\Large Y(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{2}{s+2} + \frac{3}{s+3}$

したがって

$\Large \begin{eqnarray} \mathcal{L}^{-1}\left[Y(s)\right] &=& \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+1} + \frac{2}{s+2} + \frac{3}{s+3}\right] \\ &=& e^{-x} + 2e^{-2x} +3e^{-3x} \end{eqnarray}$

*1:というより数式を使ってみたかっただけ